Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

LETTRE DE M. CH. HERMITE A M. BORCHARDT

SUR LA
FONCTION DE JACOB BERNOULLI.
Journal de Crelle, t. 79, 1875, p. 339-344.
Je viens au sujet d'un Memoii'e de M. Raabe, sur la fonction de
Jacob Bernoulli (t. XLII de ce Journal, p. 348) vous presenter
quelques remarques. Soient B" (x) et B'(x) les coefficients de
e — t dans le developpement suivant les puisI.1...21/z I.2...2 M7 -+-I
e)x- I
sances croissantes de ' de la fonction de sorte que 'on ait
X2t lz —I 1 d 1 I
B'(x) 2= i- 2 -t + (2 m+ m )1 B IX 2/-1_ (2 m+ )3 B9X2r-2+_....
x2? 2 2 2 4
L'eminent geometre donne parmi beaucoup de resultats entierement nouveaux et d'un grand interet, cette expression sous forme
d'integrale definie de B" (x), a savoir
r+ 00 U22' du
(-I)"'+i'(2a)7'4-"+l B"(x) = Sin 2IIXJ -I - e ---
- / / J_ 6et 4- e-~ -- 2 COS 2 X
Peut-etre n'est-il pas inutile de remarquer que la proposition importante demontree par M. Malmsten (sur la formule
hu' = hux - hA' -...,
2

t. XXXV, p. 55) que ce polynome ne change qu'une fois de signe,