Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES NOMBRES DE BERNOULLI.

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il en resulte que Y(iI + o)211+i est, en lui ajoutant l'unite, la
somme des puissances 2n + i des nombres i, 2-,..., p - qui
est un multiple de p, attendu que l'exposant 21 -+ I n'est pas
divisible par le nombre pair p- i. Ayant ainsi
(I ( - o )2n+1 -+ I O O (modp),
on voit immediatement que Sp se reduit bien a un nombre entier
et nous obtenons pour le calcul direct des nombres A, la relation
suivante:
(2 n - I)2 A -- (2 n -4- i)4 A2+-.. (2n -- I)2/1An
= I- n- 2n-1 — S3- S-...- Sp
ou Jes quantites S3, S5,..., Sp se rapporlent a tous les nombres
premiers jusqu'a 2 n - 1i.
Soit, par exemple, n =, les nombres premiers jusqu'a 9 etant
3, 5, 7, on aura
S3-, (36 - 126 + 84 - 9) = 85,
S= ((126 +9) = 27,
S7 - 84 = I2,
7
et, par consequent,
36A -+ I26A2+ 84 A3+ 9A4 = - 255,
ou, en supprimant le facteur 3 commun aux deux membres,
12 Al - 42A2 -+ 28A3-+- 3 A =- 85.
Pour nI = i, 2, 3, nous trouverions successivement
A= -I,
2A 4- A2=-3,
3A-+ 5A2-+-A3=-9,
et ces equations donnent facilement les valeurs
Ai- A2= A3 = A= -I;