Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

EXTRAIT

D UNE
LETTRE DE M. CH. HERMITE A M. BORCHARDT
SUR
LES NOMBRES DE BERNOULLI.
Journal de Crelle, t. 81, 1876, p. 93-95....M. Clausen et M. Staudt ont decouvert en meme temps sur les
nombres de Bernoulli une proposition extremement remarquable,
qui donne pour B,2 cette expression
I I I I
(-i )nB, = An + +...-+,
dans laquelle, A. etant entier, les denominateurs des fractions
sont tous des nombres premiers tels que - **2
20 '2 2
soient diviseurs de n. Ce beau theoreme dont M. Staudt a donne
la demonstration dans le Tome XXI, page 372 de ce journal
(Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend), conduit a rechercher directement les nombres entiers An, au moyen des relations qui servent au calcul des
nombres de Bernoulli. Employant a cet effet l'equation
(an -- I)2B1- (2 n -+ I)4B2
-t- (2n -4- I)6B3-... — (- I)-l (2an +- I)2,,Bn = n - -
oU (2n2 )2, (2n- I)4,... designent les coefficients de x2,
x4,... dans le developpement de la puissance (i - X)2i+4, on