Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. 207
et c'est ce qu'on reconnait sur-le-champ; car la diffdrentiation
donne, apres avoir multiplie par f(z
f2Qz)
=( x-) z (Z) (z)- p(z) f(z)
-(s-I^)M.( )/(x) + r( ) ]'
et l'on a precisement le nombre voulu de 2n -- 2 constantes arbitraires, pour identifier les deux membres, qui sont des polynomes
entiers de degre 2 n + -. Ce point etabli, j'observe qu'en supposant
Z = Zi
on obtient
o1 (Zi) = " f(Z) O (),
et que par suite 0, (z) se deduira de O(z), qui restera seul a determiner au moyen de la formule
o,(Z) =vo (o) z +1 - (zl)z)+ -+-'o(Zn) f(Z — Z Z- — Z - ZPour obtenir maintenant @(z), apres avoir deduit de la relation
ci-dessus proposee la condition,.f(x)
e(x) = —
p x —
je l'ecrirai comme il suit
(z-0.) ( ) _ 7 '( ) [ ) - ( )'
et de cette forme nouvelle, je conclurai en remarquant que la
fraction 01(z) n'a pas de partie entiere, que le polynome cherche
doit etre tel que les parties entieres de ces deux expressions
0 (^ P [x-.4 2+ e ('Z)
(~:_z r(z) +o'(z)
et
f(z)
(z-C)(z- x)
coincident. Soit donc pour en faire le calcul
P F'(z) so sl s2
x- F(z]) -z 2 z..
z —z F (z) z Z Z3