Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. 203
relations propres aux fonctions Xm dans le premier cas, et aux
sin m (are cos X)
quantites - -(arcc dans le second. Pour plus de generalite, je
remplacerai ces equations par les suivantes:
df y f dy M
— X2 dx,.
d2.y 3 dy I m2 - ) f ()y,
f(x)- + f'(x) d (72- I)/ )"(x)y
)dx 2 dx — (
ou je suppose
f(x) = (x — a)(x- b),
de sorte que les solutions seront
y = i(Z) dz, / f (Zl
Ja (x- Z)"., (x-Z)/Z- '
Cela pose, je pars de ces identites faciles a former:
d,f(+) f t f( T(z)
dz \x - z \ \^Zx - z - )f~
+ (n +)(2 X - a -b) _ ( ),,
d [f,,,b(z).f'(z) f ]
dz\ (x-.-z)" =(+ x- z
+ 72 (a - b)9 (2 -- 1Z - ( -) ) (Z)
v /(x - z)"(X )? l
et je les ajoute membre amembre afin d'eliminer le terme (f
Il vient ainsi
f,-. (xz)
= 4(a -- b)~ (x a b)"
'f/m(z ) yfr +-1 (z)
+ (2 m I)2 X )(:x -- a - b) ) + ( x -)(_ ),+2 -En intdgrant entre les limites z _ a,ct z b et posant
I b P (- "Z) u,,,
7;;/irdz 1) -- ),~ +