Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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p -= i -- t -- I,
m etant encore un nombre entier positif. L'equation differentielle
est alors
( + t)(n) (m n -i) (2m - n )(- ) f"(x).* 0,
et elle admet pour solutions les integrales
f -(Z) dz,
7 (x - z — 1
qui, en operant comme plus haut, se ramenent a la forme
z dcn, fmn-~2() dz
y = I -' '- -dz,
t.-, dz' x -z
Posons
i
d ~ — v) ( )
de sorte que (sz) soit un polynome entier de degre mn; la relation suivante
f7 _(z) r' dz Z (x)-(z) cz
Y = (x —) f, / x- ( -z) /f(z) JO x d- (- )
met en evidence les integrales hyperelliptiques
zdz
( z- ) el D 4(t " — (z)
clue je vais exprimer par leurs elements simples.
A cet effet et en considerant d'abord la premiere, soit
f(z)= Aoz'+l-Z-...+ A.+ il;
posons ensuite pour abreger
(/k(z) = (2k + - - n)Aoz/-d- (2ck- n)Alzk-I
+ (2 /c - It)A, ZAk-2 -+-... —.(k -i-1 - n)Ak