Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

degre mn - I, par,l(X), D2(x ),...,,(i),
on atteint prdcisement, mais sans la depasser, l'approximation que
nous avions obtenue pour les quantites
dont les developpements commencent par un terme en
X1-2tl '1
on voit done que cette approximation est bien en effet de l'ordre
le plus eleve possible, en supposant
d, fil (x), ( x) =d,,
d / dx
J'acheverai enfin de mettre en evidence le lien de l'equation differentielle avec ce nouveau mode d'approximation des fonctions,
en etablissant que I(x) en est une solution, et ce sera aussi en un
point essentiel completer son analogie avec le polynome X,, de
Legendree. Remarquons a cet effet que, rien ne specifiant, a l'egard
de l'integrale
Z fit (z) dz
J (x - z)M+l'
le chemin suivi par la variable entre ]es limites o0, Z, on est
maitre d'introduire dans une des solutions, telle que
f dz
(X) x X z q (X ),
les determinations multiples du logarithme. Or on obtient de nouvelles solutions: dont se tire immediatement, par difference, le
polynome q?(x).
Des resultats semblables aux precedents s'offrent dans des circonstances un peu moins simples, lorsqu'on fait la supposition
suivante:
0O = i =-=... - =n = fl-4- -