Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. I 95
Or, en supposant les exposants uo, 1i,.., In positifs, le second
membre s'evanouit pour z = Zo0, z,,.., z,, et, si l'on convient de
designer par Z l'une quelconque des n quantites zl, Z2,..., Z/i,
les diverses integrales
z
(z ) (x-z )'-P dz,
o
ou j'ai ecrit pour abreger
I(Z) = (z - Zo),o-' (z - z1),L-1...(z- z,)P-',
satisfont a l'equation lineaire sans second membre. Mais il est un
autre point de vue que celui de l'application de vos theorelnes
generaux sous lequel cette equation me parait encore offrir quelque
interet. Ces rapports de la theorie des fractions continues avec
certaines equations du second ordre que nous ont fait connaitre les
belles recherches de M. Heine et de M. Christoffel se trouvent
en effet susceptibles d'extension, et vous allez voir comment
l'equation lineaire d'ordre n - i se lie aux modes nouveaux d'approximations simullanees de plusieurs fonctions, dont j'ai donne
un premier exemple en considerant les quantites eax, eb...
[Sur la fonction exponentielle (Comptes rendus, I873)]. Soit
d'abord, en effet, en supposant m un nombre entier positif,
o - -= I... 1Ln 7- -1- I
et
p = mn + n -t-;
on sera conduit a l'equation
df-+ Iy di, I d'7-l.
f( xf) d_'~ ( (X - _. n) ( m —n + I) f " (, ) dw'~-'
I dni-2y
-.- (72m - n) (m +- n — )(2m -- n + 2) "(x) d ---- - = o,
dont n solutions representees par les integrales
z fM (z)
Y= (x - dz
"0

s'obtiennent comme il suit sous forme finie explicite. Dans la for