Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

I 92 OEUVRES DIE CLIARLES IIERM ITI';.
Dans l'autre cas on aura ce second Tableau:

b% = bo 0
bt_ b' a
2
b' =

I b = o,
<I 5a(
b = o
a
b = -2
5,
b = 0,
b = a —o
92

a a'a",
aa' a'2
a2 a'
aa aa-.2
aa'2 a2 a'
aa ca - - -,
2 2
a2 a
a a aa
aa a - - --
aa'a" a aa
2 2
2 2
aa'2 a2 a"
aa'a- - -
2

b = o,
a
2
b =

a1-a,2

et a premiere vue on reconnait que ces
sous les conditions
a < a' < a".

quantites sont positives

Mais cette demonstration route elementaire est loin de l'elegance
et de la profondeur de celle que Gauss lire dans le premier cas,
par exemple, de cette identite
2D = aa'a"'- ab(a'- 29b) + a' b'(a"- 2b') -- a"b"(a - zb")
b(a- 2b') (a'- 2b") -- b'(a'- 2b") (a"- 2b)
- b"(a"- 2b) (a- 2b') - (a - 2b') (a'- 2b") (a'- 2b).
En reflechissant a cette etonnante transformation j'ai fait la
remarque qu'elle peut etre generalisee de cette maniere:
'2a araD =- (2aCa' "-)aa'a" + ab( a'- 2aa' " b) -+ 'a' b'(a" — 2aa" 'b')
-+at- "a"b"(a — 2aa'b") -+- ab((a - (Z'b') (Ca'- 2'b")
-o a'b'(a'- 2ac"b") (a"- 2ab)+- a'"b"(a"-2 a2b) (a - 2aXb')
-+ (a - 2a'b') (a'- 2c" b") (a'- 2 axb).
On verifie aisement en effet que le second membre s'evanouit si
I'on fait a = o; par un changement de lettres on conclut qu'il
s'annule aussi pour a'-= o et ao. o; la formule est done demontree