Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA REDUCrlON DES FORMES QUADRAT'IQUES TERNAIRES. 191
j'observe qu'il suffira de prouver qu'elle est positive quand on
attribue a b" par exemple sa plus petite et sa plus grande valeur.
Effectivement dans les deux cas que nous avons a traiLer, b" parcourt des valeurs toujours du mieme signe, positi-es dans le premier, negatives dans le second, a parlir (le b"-= o. Or l'expression
est un trinome du second degre en b" dont le terme du second
degre est affecte d'un coefficient negatif, et, si le terme constant
qui est donne pour b" = o est positif, ses racines seront reelles et de
signes contraires. On voit par la qu'a l'egard d'une serie de valeurs
du meme signe, il suffit bien de verifier qle l'expression est positive auxlimites, pour etre assure qu'elle l'esl aussi pour les valeurs
a
intermediaires. Cela pose, faisons en premier lieu b" =o et b"
dans-lexpression de 2D - adda. Je remarque que les quantites
auxquelles on sera conduit, et qu'il faut demontrer etre positives,
seront a 1'egard de b' des trinomes du second degrt dont le terme
du second degre sera encore n6gatif, et que cette variable sera de
menme assujeltie a parcourir une serie de valeurs de meme signe,
de sorte que le raisonnement precedent leut sera applicable. Sans
le repeter davantage, on voit clairement que notre objet est maintenant (le donner les limites de ces intervalles que parcourent
b, b',b", sous les conditions (1) et (II), et de calculer les valeurs
correspondantes de 2 D- cc' ca". Or elles sont pour le premier cas:
b = o, a a'a",
b' =o 0, a aat'
b" =o a2a'
'" b =o, aa'a"- -
- *a a'a"-', ~ aa' 2 a2a'
I f b_=-, a a'a -
\ 2 2 2
b' -= O
b 0 aa al - -'
fb- =_,,,, a2 ia" aa'2
af 2 a2? '2 2,, bt /~~ C aa' a- a"
b - a --- -
ja,,, aa2 2a
b'= '-,, - _ a', aa'2 a2 a"
I ib --- oa a"
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