Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

71/ sin /i
SUR L INTEIGRALE J -- 2 a csx -- a2 ) d. i83
O -- a acos x -- a2 d
ment cosx- = z, la decomposition en fractions simples de la fraction
rationnelle
/.f(X) S(I- Z2)
i - fJ(x) — 2 az — a2 - ( - Z2)
donne immediatemenl le resultat; car, en ecrivant
-(T - 2) G 1I
_____a ____ ^ a2._ r.2 __ __ i ___
I - 2az - - ( g - z h - z
vous voyez que nous somines ramenes a l'integrale connue
J dx.Jo g- cosx ~/g2i:
Cela pose, on obtient, en resolvant l'dquation du second degre
I - *az -- a2 — s(i - z2) = o,
a — V'(I -- z) (a2- -) 7 C a( - ( (- c - s)
On a ensuite
= II ----,
s,-2_ - =- aI =-z- a'_ ~
V/ — -- I = -+\/- - + -/a2-
comme il est facile de le veritier en elevant les deux membres au
carre. Mais il est necessaire, avant d'employer ces formules, de
choisir les signes + de maniere que les radicaux aient bien les
determinations qui leur conviennent dans les relations
r d2x, T dx _
cOsx /gJo -cos Jo _- cos h
Revenant, a cet effet, a la condition de convergence de la serie
f" tfm(x), j'observe que le maximum de f(x) est l'unite pour
a < i, et - pour a > I; on doit donc supposer s < i dans le preminer cas et ~ < a' dans le second, de maniere a avoir sf(x) < I,
pour toutes les valeurs de la variable. De l'inegalite - /f(x))> o,
resulte que l'equation
I- f(X) = o