Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENS1ON DU THEORIEME DE M. STURM.

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recourir h la methode suivante. Introduisant un nouveau systeme
de quantites auxiliaires '0,,,r,^.., *,_, nous poserons
r I + X n r, 4 a x -2 4-. ~ ~ -. x -1 m__ -1
F'(xl )
cl ~ 2
52 - F'(x2)
(4) r0o + x3' r,+ ' r2r. I 2..+ XIT'-17,_.3 --......................................... io+ Xt ll-+.y2,zr^.2. * +- XOZ I m-1.z-' F'(xa)
F'( x,,,)
F'(x) designant la derivee du premier membre de l'equation proposee F(x) = o; maintenant, si l'on substitue les nouvelles inconnues r aux quantites ~ dans les equations (2), il viendra
' ~F l +F+.. n+ r' l" l - -Zi,
XaZv X2 3 '^
Z- Ft +rl Ft -r +. 2..F l+ " '- l - F Z2,
(5) x2 X3.2 ( x F'-x F' -+l
O F I' F' + -1 F' - Z,
par
Mais on sait que cette somme est nulle pour toutes les valeurs
de pF moindres que m -, et qu'elle est l'unite pour t- m - ti
le coefficient de xm" dans F(x) est lui-meme egala i. Pour les
valeurs superieures de u., elle representera une fonction rationnelle
et entiere des coefficients du polynome F(x), de sorte qu'en
faisant
xn-l+i
Z F=
= *i,