Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Cela pose, nous observerons qu'en introduisant in inconnues
auxiliaires,, ~2,.. 7 m, on peut remplacer le systeme des equations (i) par les deux suivants:
l-+- C2+ 3 4-...-+- Ist = Z,
X1'I- X2 22+ Xa3 rt3...4- x,,)L, Z2,
(2) x i4+ X.2 X3.3 -. - x 11, =Z3,
X?- -l + Ix~-1 2 + xt~XL- 1,.. 4- /.i1,2 Zlm,
et
2 4 -=i Z 2 z4- x\ Z3-...4- x3Zin
2 = X2 iZ + X2 Z2 - X2 Z 2 3 +... + X22 til
(3) <3 == x3 z4-j x52 4 — x 3....4- ~ X 2z/,,,
~(3) i;3 - i+ X3ZZ 2 JnZ2~- XZ3+. * *+ X;Zy,......................................
/Zt = XlZ1 + X/,.+ X- Z3 + * — Xt-/ Z/n,
comme on le voit immediatement par la substitution des valeurs
des quantites ~. De la resulte d'abord, par l'une des propositions
elementaires de la theorie des determinants, que A0 sera le produit
des determinants relatifs aux equations (2) et(3); or il est visible
que le second n'est autre que le premier multiplie par le produit
x1 X2 X3... X,,; ainsi, nous avons cette egalite
Sl S2 S3... SmZ
S2 S3 S... St,-+l
A0= S3 S4 S5... Sn. +2
S,^ S,,-+l Siz-+2. * S27)-1
I I I... I
X1 X2 X3... Xm
X1 X2 x2 3... X~. 2 X... X
1 2 3 * * it
Si nous n'avions en vue que les equations a une inconnue, nous
pourrions nous arreter ici, car on sait que le carre du determinant
par lequel se trouve exprime A0, est le produit des differences des
racines x, prises deux a deux, de toutes les manieres possibles,
mais cette donnee nous manquera dans la question analogue relative aux equations simultanees; aussi nous allons, des a present,