Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE.!165
Nous aurons donc, en integrant,
e- zx (z) =- x92 e-zxfln +(z ) dz +( -m + )(im +) f e -zxfl (z) dz
-+ nt (m - + ) e-Zx f^-1 (z) dz,
et ensuite, si nous prenons pour limites z = o et I^,
X2 e-ZXfm/+l (z) dz = (2am 4- )(2 - m+2) e-zxfml(z)dz
+ n(m n + i) e zxe-zxf-t (z) dz.
Soit maintenant
x2m+ iex r 1
m= I e-ZX /i(z - I)~n dz,
et cette relation deviendra
S,+l = (4m 4-2 2)Sm,+ x2 s, -.
C'est le resultat auquel nous voulions parvenir; en y supposant
successivement m= I, 2, 3,..., les equations qu'on en tire
~2= 6E1+-X20o,
S3 = IO — 2+ X2l,
~ = 14 3 4- X2,2
donnent aisement la fraction continue
~0 X2
- -10 --- - --
6 +-
I4 +.
et il suffit d'employer les valeurs
o=- exf e-zxdz == ex -
s = x3 o ex z(z — I
s = x3 ex f e-zx.z(z - t) dz = ex(2 -x) - 2 - x,
^o