Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

I6 2 OEUVRES DE CHARLES IIERAIITE.
mieme eclductible (" des irratio7nnelles alge'bliques ('), et je rappellerai aussi que l'illustre geometre a demontre le premier la proposition qui est le sujet de ces recherches pour les cas de 1'equation du second degre et de l'equation bicarree [Note sutr l'irrationnalite' d.ta nombre e (Journal de AIathematiques, t. V,
p. 192)]. Sous le point de vue auquel je me suis place, voici la
]remiere proposition a etablir:
VII. Soient F(.), F (z),..., F,,+, (z) les polynomes de'duits
de 1 'expression
z.(z - a)(),(z — b),...(z - h)V.,",
lorsqtt'on attribue aux exposcants, [.,,..., J.u,, n - 2 systemnes
diffe'ents de valeurs entieres et positives. En representant, en
ge7neral, par,c,(x) les fractions conlvergentes ve7s les exponentielles, qui correspondent a l'un quelconque d'entre euxc F( z),
on pocl7/a toucjours de'terminer les quantites A, B, C,..., L
par les equations suivtantes
A,4 (x) +- B V (x) + C42 (X) -+-...-4- Ll+' (X) - o,
A4Il (w) -4- BE ql (x) -4- C(D~ (( ) ---...-4-L TCD+1 (x) - o,................................................
A,(x) 4-+- B41 () - C(x) -+ C ().. L cl^+ (x) =
Mais, au lieu de conclure de telles relations des polynomes
4 (x) supposes connus, notre objet est de les obtenir directemen t
et a priori; je vais etablir pour cela qu'il existe, entre les integrales indefinies
fe-zxF(z) dz, fe-zxF,(z) dz,..., e-xF,i(z) dz,
une equation de la forme
Aje ---zF(z)dz-l,, (,fe-'-,;F(z) dz —...
+- 1 fe —~xF,iLr(z) dz =e —Zx(z),

(1) Comptes rendus, t. XVIII, p. 883 et 910.