Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE.

I I
et, par consequent, si l'on neglige -,, * -,
0(l. +4- i) - 6O(k) = i(n -+ ) log(n -+ 21)b,
d'oiU
e08t+i)-0(i ) -= [( n - I) ]i(/n 1).
En ne conservant donc dans le determinant que le terme en.F de
1'ordre le plus eleve, il se reduit simplement a cette expression
I I I
P Q S
[( — + I),U 1) P2 Q2 S2
p/-li Q/-I1 s,-1
[1 en resulte qu'on ne peut, en general, admettre que le
determinant propose A s'annule, car les quantites P =f(p),
Q =f(q),..., fonctions entieres semblables des racines p, q,...
de l'equation derivee f'(x) = o, seront, comme ces racines, differentes entre elles. C'est ce qu'il fallait etablir pour demontrer
l'impossibilite de toute relation de la forme
N + eaNN1-4 ebNa-+..+ eh N- o,
et arriver ainsi a prouver que le lnombe e ne peut etre iracine
d'une equation algebrique de degre quelconque & coefficients
enttiers.
Mais une autre voie conduira a une seconde demonstration plus
rigoureuse; on peut, en effet, comme on va le voir, etendre aux
fractions rationnelles
P, (x) c2(X) _,, n(x )
mq(x),(x)' ' )(x)
le mode de formation des reduites donne par la thdeorie des fractions continues, et par la mettre plus completement en evidence
le caractere arithmetique d'une irrationnelle non algebrique. Dans
cet ordre d'idees, M. Liouville a deja obtenu un theoreme remarquable qui est l'objet de son travail inlitule: Sur des classes tIres
etendues de quantie's dont la valeui' n'est ni algebrique, ni
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