Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

et, par suite,
log[e-Zf[.(z) y(z)] = (n + t - ) logz -z - log(n -+- 1).
Apres avoir substitue la valeur de z,,+1, une reduction facile
nous donnera, en faisant, pour abreger,
0(vt) = (nlt + - + — )log(n+- 1)- - (n + I)) t — -log(n -+ ),
cette expression semblable a celle des integrales euleriennes de
premiere espece
fe-f(z) dz /( / )e().
MLaintenant on va voir comment les resultats ainsi obtenus conduisent aisement ai la valeur du determinant A.
VI. J'effectuerai d'abord une premiere simplification en supprimant, dans les termes de la ligne horizontale de rang i, le facteur / 2-. puis tine seconde, en divisant tous les termes d'un e
mime colonne verticale par le premier d'entre eux. Le nouveau
determinant ainsi obtenu, si l'on fait, pour abreger,
P =f(p), Q =f(q),..., s =(s),
sera evidemment
I [ I I
P Q S e(+l —^(
p2 Q2 S2 e0(+ —2)-0().
P'i Qi s,~ eG6(tJ+L)-0(J()
Or, on voit que f ne figure plus que dans une colonne, dont les
termes croissent d'une telle maniere cque le dernier eO(l+)-~O(,) est
infiniment plus grand que tous les autres. Nous avons, en effet,
j2
0(+ — i)= o(0) +-io'( ) +-2 () +. ~..
= e(,)+ i[) +(n +i) log(n4+ ])V
i2 / I - \...
2at 2+ 2+,..