Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM. 5
II. La demonstration des theoremes que nous venons d'enoncer repose, dans le cas des equations a une inconnue comme dans
le cas des equations simultanees, sur l'expression en fonction des
racines des deux premiers termes A0 et A, des fonctions A. Voici
d'abord cette recherche pour les equations a une inconnue, en
suivant la methode propre au second cas et dont on verra ainsi le
principe avec plus de facilite.
La quantite A0 est evidemment la valeur du polynome A pour
= o; c'est done le determinant du systeme
Si, S2, S3,..., Si/l,
S2, S3, 54,.., S,,n+l,
S3, S4, S.. Smt+2,.. * ~. *. ~ *~ - -....'
Si S+ S S +,1...4-2 - S2 i2-l1,
Quant a A,, il suffit d'un peu d'attention pour reconnaltre que
c'est la somme prise en signe contraire de tous les determinants
am - i colonnes que fournit le systeme precedent, lorsqu'on fait
abstraction d'une colonne horizontale de rang quelconque telle que
Si, Si+,... Si+n_2, et de la colonne verticale composee des memes
termes. D'apres cela, si l'on considere le systeme des equations
lineaires
+ 8 S2t 2 -+- S3 -3 -+. +4- Sz /,t - Zi,
S2z1 -+ S3z2 -+ S4.3 - S... ll-Sm+1z, = Z2,
(I) S3z1 -+ S4z2 -+- S5z3 --.. — Smn+a-2 Z 3,.... ~........................................
S/11 Z-4- S/l-+-I Z2- S/-129 3 -.*. 4- S2n-1 ZI Z= Zt m,
et qu'on le resolve par rapport aux quantites z, de maniere a
obtenir
Zi =A Z, — +A Z2+AI Z3+4-...+A-,Z/,,,
z2 =A2 Z Z2i + A2 Z- A- Z3 + A2 Z,,,,
Z3 = A3 Z i+A A3 Z2+ A Z3 A3, Z,/,,...................................................
z,,- = A " Z1 4- A-l Z2 -- A 3 Z3 4-. ~ - All, Z,,,.
Am
A0 sera le denominateur commun des quantites A, et L sera la
Ao
valeur changee de signe de la somme des termes en diagonale
A, +A +A +... +A.