Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

158 OEUVRES DE CIIARLES HER1MITE.
afin d'en conclure pour A une valeur approchee, dont le rapport a
la valeur exacte soit l'unite pour Iu infini. Admettant, a cet effet,
que les nombres entiers a, b,..., h soient tous positifs et ranges
par ordre croissant de grandeur, de sorte que, dans chaque integrale, la fonction e-z ft(z), qui s'annule aux limites, ne presente,
dans l'intervalle, qu'un seul maximum, je considererai en premier lieu l'equation
f'( z) i
J(Z),t
dont dependent tous ces maxima. Or on sait que ses racines sont
reelles et comprises, la premiere z, entre zero et a, la seconde z2
entre a et b, et ainsi de suite, la plus grande z,+, etant superieure
a h. Envisagees comme fonctions de:,, il est aise de voir qu'elles
croissent lorsque a augmente, et qu'en designant par p, q,..., s
les racines de l'equation derivee f''() o, rangees par ordre
croissant de grandeur, on aura, si l'on neglige -
I f(p);. f(q) i f(s)
zI = 1 q,...P Zj = q Z1 S
^ t, J' ^( r) Y) q ' t "(s)
et, en dernier lieu,
ca + b... + h
Zn+l = ( J + 1) ) -4-
n -+ I
une approximation plus grande n'etant pas alors necessaire. Cela
pose, si l'on ecrit pour un instant
V '2 (Z) -j () )f"(/)'
les valeurs cherchees seront
l -- e-,f{(zl,)p(z,), l- f e-zoft(z2).((2)
- e-Z111 f y(Zn-r+ ) (Z/l );
mais ces quantites se simplifient, comme on va le voir.
Considerant la premiere pour fixer les idees, j'observe que nous
avons
I *f(p)
p ~ f- _(P)
zi=/ — '