Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR Lk FONCTION EXPONENTIELLE. 157
demontrera l'impossibilite de la relation admise
N -4- ea N24 - -...+ — ebN,/= o.
J'observerai dans ce but qu'on peut substituer aux termes d'une
meme ligne horizontale des combinaisons lineaires semblables
pour toutes ces lignes, et que j'indiquerai en considerant, par
exemple, la premiere. Elle consiste a remplacer respectivement P,
Pi, P2,..., P,-1, P,, par P —e-ap,, e-aP, — e-b,..,
e-g P,_ - e-^Pn, e-hPn,; il est alors aise de voir que, si l'on multiplie toutes ces quantites par 1. 2.3...., elles deviennent precisement les integrales
e e-f z (z) dz, e-zf(z)dz,..,
h, o
f e-Zfv(z)dz, f e-zf p(z)dz.
Maintenant les autres lignes se deduisent de celle-la par le changement de p. en.+ -I, -+ 2,... — n, et le determinant
transforme sur lequel nous allons raisonner est le suivant:
f e-zf()dz, (z) zdz,,. e-zf f (z) dz, e-f (Zf )dz
(0.a oo
C e- zfYI(zdz, J e-zfv.+(z)dz, f., vC 3-f (z) dz.....................................................
o e-zf-'+'t(z) dz, j e-zf.+fl,(z) dz,..., e-zfI+lz(z) dz
V. Nous devons supposer, comme on l'a vu precedemment,
que. est un grand nombre; c'est ce qui conduit a determiner, au
moyen de la belle methode donnee par Laplace (De l'integration
par approximation des diff6eentielles qui t7enferment des facteurs eleves a de grandes puissances dans la Theorie analytique
des Probabilites, p. 88), l'expression asymptotique des integrales, b b
f e-zfti(z)dz, f e-zfV(z)dz,..., fe-zf(z)dz,
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