Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FONCTION EXPONENTIEILLE.

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a, b..., i etant des nombres entiers, ainsi que les coefficients N,
N,,..., N.
IV. Je considere, a cet effet, parmi les divers systemes de frac4, i(x) %D2(x) q),, (x)
tions rationnelles l,(x) - 5,(x) ' " ) -, celui qu'on obtient
^(c) x (x) {(x)
lorsqu'on suppose u. =. ==...- I.,, ce qui donne
mnr = n[, M = ( -- I),i et F(z) =/f(z),
en faisant
f(z) = z(z - a) (z - b)... (z - h).
Soit alors, comme tout a l'heure,
fl (X),1 (x)
n(x)=, (x)=,...,
I.2.3... I. 2. 3...
n,~(X) =
1.2.3..
ces nouveaux polynomes auront encore, pour leurs coefficients,
des nombres entiers, et conduiront aux relations suivantes
eOx'n(x) -- ii(x) =E l,
~~~(A)~ ebx II(x) - ll(x) - E2
e.x I (x)-II, (x)..S
e/nx(x - II, (X) =- /,
en ecrivant, pour abreger,
X\i-4 — eaxl) 1+1
1.2.3...< 0 1.2.3.....
iE - 1 ' e-xxF(z)dz ex(~- ClfZ
x3-+lebx o 1 / ' Y' (nT X (/l'-l) U-iI
E2 1.2.3... l e e-z F(-z)dz = e X-/ —) f- ' dz,
1.... 3.......................... 3...;j..............................................................
Cela pose, j'observe en premier lieu que s,,,,... deviennent,
pour une valeur suffisamment grande de v., plus petits que toute
quantite donnee; car, le polynome f(z) ne depassant jamais une
certaine limite ), dans l'intervalle parcouru par la variable, le facfp(z)xn+i.. i.,,
teur -2.3... --, qui multplie 1'exponentielle sous le signe
1..3.... L
qui a zero pour limite.