Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

I52 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
qu'il est facile d'obtenir sous forme explicite. Faisant, en effet,
())= F(z) F'() +()
nous aurons
fe-zx F(z) dz = e —eZ (Z),
et, par consequent,
J e-zx F(z) dz = o(o)- e-ax c (a),
b
o e-zx F(z) dz= -(o) —e-bx (b),....................................
Or l'expression de S(z) donne immediatement, sous forme de
polynomes ordonnes suivant les puissances croissantes de -, les
diverses quantites J(o), S(a), S(b),..., et si l'on observe qu'on a
F(o)= o, F'(o)=o,..., F(,-l)(o) o,
ptis successivement,
F(a) = o, F'(a)= o,..., F('i-l)(a) o,
F(b) = o, F'(b) = o...., Ft-)(b) = o,'.................................................
nous en conclurons les resultats suivants
(o0)= ^I(x) S(a) = -( (h)= ( _,(X)
a) — o) = X4' (
ou le polynome entier )(x) est du degre M — m, et les
autres (4 (x), 4(. (x),...,,, (x), des degres M- kL, M- -2,...,
M - [,. Cela pose, nous ecrirons
eax I (X) - 4) (x) = xM+1 eax e-zxF(z) dz,
o
ebx D (xX) -- (9 (x) -X-I MeX ebx e-x F (z) dz,
o................... o.....................
h
ehx^4(x)- 4- (X)= x)xl+i ex e-zxF(z)dz;
o