Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

148 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
commence au terme du degre le plus eleve possible en xnt"+Lz+. +r+i — I
En multipliant par une nouvelle exponentielle, eWx, et formant la
suite des quantites
x x
fl(x)= exf(x)dx, f2(x) fl( )dx,....s+(x)= fs(x) dx,
to
il est clair que la derniere sera de la forme suivan te,
fs+l (x) = e( -twr)x Wn(x) -- e([+W)x WI, (X) —... ewtX T,. () -t- Ts(x),
ou0 Wm(x), W,1(x),..., Ws(x) seront des polynomes entiers des
degres in, n,...,., et que son developpement commencera par un
terme de degre n +- n +....+ s +- i. On en conclut aisement que
si l'on pose
O( J, )2,..., ) = (i- )1)L( - 2)/...( i- i)X<)s Xl)'fX +l ++1.. +.+.'+iA = ( -- ) > * i A ( ) -2 ).2.3 * ( ) +. t(Y- ) X3. )4 i + - *... - 4 o) ion aura la relation
I1 1,.. ( 1 )1 i,, Xi)eAxdX I4. dXi
eCx eO,, (x) -- e zx O,, (x) -4-... — etx O,.(x) -.- s(x)
Xm;t tl+...+.- +i
o i O((x), On(x),..., Os(x) sont des polynomes entiers des
degres m, n,..., s; c'est done au moyen d'une integrale multiple
la definition du systeme des polynomes entiers de degres donnes,
qui donnent la plus grande approximation de la fonction lineaire
composee avec les exponentielles eCx, e3x,..., e".
Dans le courant de ces recherches, voici une question arithmetique qui m'a beaucoup preoccupe. En considerant pour une
valeur entiere de x la fraction continue
ex- i x
ex — I x
2 6 —
2.q-~

ne doit-il pas exister quelque caractere special, a l'egard de la