Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

et il suffira de changer x en ix pour relrouver sous forme reelle
Cls expressions que j'ai cues d'abord en vue
S T
cosx s=, x=
11SX - sin i,
Or, ces polynoes 1(x) et nl(x), dont la consideration me
sceble indispensable pour approfondir la question arithmetLique
difficile que j'ai seulement touchee, s'obtiennent comme il suit.
J'applique la formule
f (t) e-xdt -- e-tx (t),
oUl F(t) est une fonction entiere elt la quantite
(t) ( t) + '(t) F(t)
x -x2 x3
'a la determination de l'inlegrale definie j I t ~-t2)p e-t dt.
Pour cela je remarque que la relation
F(t)e-t dt = (o)- e —x I(1)
met en evidence deux lermes, dont le premier se calcule au moyen
du developpement
lF ( t 2) = t,-( -- t2) — t I) tl — l- (P -- +...+ iFpt2
I i.2
qui donne les valeurs des derivees de F(t) pour t= o; on a done
imnmdia tenent
) i. 12.3...n p 12. 3..., --- 2
i..1.2. 3.11-4 2]- ) T.2.3... 7
r ----^^ — ++ = (^
) Xll'+l Xll+ ''p-i+ (x),
en posant
(I>(X) 2- 2) — -( -I- I)( -1- ')X2/P)-2
+4- (7t ~ i)(7 t ')(( — 2) 3)(n( -- 4)X2p-4 —....
1I.2