Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

sun L'EXPRESSION U sinx -+- V cosx -+- W. i41
C'est maintenant, Monsieur, que se presente une question arithmetique d'un grand interet. Supposons x i, en faisant pour
abreger
sin i e e-' e 4- e-~
h=- - h' = cost=;
C. 2 2
la quantite
P,- = U sin.x - V cosx — W
prendra la forme suivante,
i2'+p) ( uh + vh' — + tv ),
ou te et v sont toujours des nombres entiers, wv pouvant etre fractionnaire, mais devenant egalement entier quand ni croilt al dela
d'une certaine limite. On a, en effet,
1 /i
W =-( — I )" Z (p -- )(p -- k -4-: )...(p -- l 2 n- 2)( — )'2 x'
en supposant k o, 2, 4,.., p - a, si p est pair, eL
k —i
=(_ — I2 Z ( -k)(p -k — )...(p - k 2- ) ( —I) Xk
1.2.3...k
en faisant k -i 3, 5,..., p- 2, i p est impair; or, dans les
deux cas, il est visible que le coefficient
(p - k) (p - k + '4)... (p - k 7+.:- -:?)
I.2.3.../I
finit par devenir entier. Cela pose, les divers sys-tmes des nombres
x = 11, y = v, z = (w
donneront-ils des minima de la fonction lineaire xh +yl' -+- z?
Vous connaissez la decouverte memorable de Dirichlet sur les
minima des fonctions lineaires, a un nombre quelconque d'indeterminees; en arithmetique elle me semble, si je puis dire, aussi
importante que la theorie des fonctions elliptiques pour l'Analyse.
Mais, tandis que les fractions continues sont d'un emploi usuel, les
applications numeriques des theoremes de Dirichlet restent comme
impossibles, et a cet egard je reconnais n'avoir encore gutre avanc(
la question, en decduisant ces theoremes de la consideration des