Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXPRESSION U Sill --- \ COSXc --- W. 139
donnent la composition de ces quantit(s, e monlrent qu'en designant par I, le terme general de la sterie de rang p), on aura,, - U sinx -;- V cosx -- XV,
U et V elanl des polynomes enliers, Fun du degrez n, lautre du
degre n - i, et t' de degre p -. Or le dtveloppement
= V (. '- )( ~k -' )...(2 - - 1)( — I)A'x2A'
p - /= J....3...'/ — 9. I + p
0
dont le premier Lerme esl de degre 2 -p, a bien la forne voulue.
Ces memes quantites peuvent s'oltenir d'une autre maniere comme
il suit. Posons, suivant quep est pair ou impair,
-'- = (- - L co x I — + _r_ *
xz, c.'. (- p -
X l |I. '1 I.2~ 3.4 24-.I. P -.',
ou bien
1 —I
l_- (_-_,x) 2 * X i-
}1 I l ---Si- llX - x (- I 2
Cette loi de formation donne trres facilement le detveloppement
en serie de p,,, en partant du dev-eloppenient de IJ, a savoir
I x2 xy
1 - / x.
On retronve ainsi
I (.- 2)( 2i 'I 4)... ( - i-f 2 4 7)(-d )/A 2X2
li I1.2.3...-2/ +- 2f -p
0
ce qli conduit a la relation
cd'oLi ion tire, coimme pour les tuans q tits A-, celle-ci
dP
P- =-(2 i- P)Pi, - - X. ~.. p i.?....) + ~ I. 2.p —,