Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM. 3
Le determinant de ce systeme sera un polynome entier en A du
degre m, que nous representerons ainsi:
A A0 -- X Ai -- a A2- -.-4- (- I)mn ).
Comme le systeme (i) est symetrique, l'dquation A o aura
toujours ses racines reelles; cette propriete importante, demontree
pour la premiere fois par M. Cauchy dans ses recherches sur les
inegalites seculaires du mouvement elliptique des planetes, sera
fondamentale dans ce Memoire. Mais voici d'abord la forme nouvelle sous laquelle nous presentons le theoreme de M. Sturm.
Soit A([) ce que devient le polynome A, lorsqu'on considere
l'equation F(x +- ) = o, au lieu de la proposee, et v~ le nombre
de ses variations pour une valeur donnee de la quantite E; le
nombre des racines reelles de l'dquation F(.) - o, qui sont comprises entre deux limites quelconques 0o et i,, sera represente en
supposant E, > o0 par la difference v8 - v.
Les coefficients des diverses puissances de X, dans le polynome
A (), sont ainsi des fonctions enti&res de E, qui forment un systeme
non identique, mais analogue a celui des fonctions auxiliaires de
M. Sturm et qui conduisent absolument au meme resultat.
Considerons en second lieu deux equations a deux inconnues
F(x, y) =o, 4(x, y) = o,
que nous supposerons d'abord generales et du degre nz chacune;
soient
X = X1, X = X2... X = X12'
y = yl ' Y Y, Y, ~. Y - Yy,
leurs diverses solutions simultan6es, et Si,j la somme symetrique
xt yJ + xy yJ +.. - +- Xm,2y,,;, nous representerons pour abreger
par (o) le systeme lineaire
S1(I), S20), S3tW, * *. S O,
S2W, S3to, SO, ~., Smn+l,
*......,,...,........7
/S,,/A, Sf+li W, S,+f+2., S* - 2/-lt.

En attribuant a l'indice w les valeurs i, 2,..., m, on aura un