Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXPRESSION U sinx -,- V cosx -- AV.

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on encore
- /, (ak/ - I)(a2/ -- 3). *.(2/c -4-'/-i- l) I.'2.3...2ak
0
Le premier terme de cette serie etant en x2'-", vous voyez que U
et V sont bien les polynomes qui resultent (le ia itheorie des fractions continues. Mais on peut y parvenir par une autre voie.
Soit
1I = -I X
x
puis successivement
i dcllf sinxr —xcosx
tI. =
- dx X X
1 dT1 2 (5 - -G6x) sin - (I5 - X3) COS.
13 =- =
x dx X7
et, en general,
11 +-l i — d
x cdx
On reconnail immediatement qlu'on aura
U sinx A- V coswx
7t~,, = X21
U et V etant encore des polynomes dont l'un est de degre an et
l'autre de degre n —; on obtient aussi facilement la s6rie
I1 [ x2
[1,,- - -—....
i.3.5...? - - '.3.5...n -- 3
II s'ensuit que
A,,.T2/i —I
et, par consequent,
A,-+t I d ( A,, )
x2'+i-3 X Cx dx x2/+y '
c' est-a-dire
An —l = (2 1n + )A — d- x;
d.v