Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CIIARLES HERMITE.

petit et positif
F ( d- ~) = —, F(A- - ) =+ _-
c'est-a-dire deux resultats de signes contraires, nous en concluons
pour l'equation proposee l'existence d'une racine reelle comprise
entre g et h. J'ajoute qu'il n'y en a qu'une; car, en prenant la
derivee de F(x), on o)btient cette expression positive pour toutes
les valeurs de x entre - i et + i, savoir
__ A 1 1.,
F'(x)= x- (-a x-b + (x- ~'
I (2 T( - a)2 (x - " I
G
de sorte que F(x) va continuellement en croissant depuis -
jusqu5a -+-, et ne s'annule par consequent qu'une seule fois. En
designant done par n le nombre des quantites z, b,..., 1, qui
sont comprises entre -- et -4- i, nous prouvons ainsi que l'equation proposee possede n - i racines reelles; mais ayant
F ( — I - Io)= glogv2,
qclantite infiniment grande et negative, on voit de plus qu'il existe
encore une racine comprise entre - et le terme le plus voisin de
la suite a, b,..., I;- enfin une derniere racine se trouve pareillement entre le terme le plus voisin de l'unite et l'unite, attendu que
I'expression
F( i-s)- log 2 —
est infiniment grande et positive.
En second lieu, je dis que l'equation proposee ne peut admettre
aucune racine imaginaire dont le module soit inferieur a l'unite.
Soit, en effet, x = o. - \/-i une telle racine; on trouvera
cd'abord
A( a —) (O -- b)
f CX( a)2 - " (a - b )2 2
Por caler en e la valeu it enti)-2
Pour calculer ensuite la valeur, cque l'on sait etre unique et entie