Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LlIRRATIONALITE DE LA BASE DES LOGARIT-HMES HYPERBOLIQUES. 129
Or je dis qu'en faisant croitre n, le second membre qui jamais
ne peut s'evanouir deviendra plus petit que toute grandeur
x2/t-+-I
donnee. 11 en est effectivement ainsi du facteur, et d'autre
I.2... 7
* I I I N (k A4 I) (k (k?)*.. ( i +s o) us
part, la serie inflnie (k i)(k - )...( ant mLse sous
k. 71 - I. It -+ 2... ki - 2 n -+- I
la forme 1 I.2... - --- I I on reconnait qu'elle
i -4- I. n 2+4:... k -.- 4- i - ',2...k a
a pour lirmite superieure ex3 —, car le facteur
I.2.../C / — + I
rn-k- I. t 1... -k-+ 2 t -+- I
est inferieur i l'unite.
De la resulte qu'en supposant x un nombre entier, ex ne peut
etre une quantite commensurable -; car on aurait
b -(x) - a, (x)
ex v(x) —+,(x) =
et cetle fraction dont le numeraleur est essentiellement entier,
d'apres ce qui a ete etabli 'a l'egard des polynomes )(x) et I)\ (x),
ne peut, sans etre nulle, descendre au-dessous de -.
L'expression decouverte par Lambert
eX e-x X
eX -- e~-x x2
I 3.
que j'evite ainsi d'employer, n'en reste pas moins un resultat du
plus grand prix ct qui ouvre la voie 'a des recherches curieuses et
interessantes. En supposant par exemple x 2, on peut presumer
qu'il restera quelque chose, de la serie si simple des fractions
integrantes ayant pour nunmerateurs le nombre constant 4, dans la
fraction continue ordinaire equivalente, dont les numerateurs
seraient l'unite.
En effet, il parait que, de distance en distance, viennent alors
s'offrir des quotients incomplets continuellemient croissants. C'est
du moins ce qu'indique le resultat suivant, du a M. G. Forestier,
ingenieur des Ponts et Chaussees, a PRochefort.
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