Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

. IOEUVRES DE CHARLES HERMITE.
diverses valeurs que peut prendre une meme integrale double,
lorsqu'en conservant les limites on substitue des fonctions imaginaires quelconques aux variables reelles de l'integration. C'est
ainsi qu'en designant par F(z, z'), (z, z') les premiers membres
de deux equations simultanees, j'ai ete conduit a la reclerche des
dF dd4 dI dF
valeurs multiples de l'integrale dF dz', d dzdz',
qui me semblait devoir jouer un role analogue a celui de l'integrale
simple F- dz dans la theorie des equations a une inconnue. Un
grand nombre d'autres questions que je ne puis indiquer ici et qui
se rapportent aux fonctions periodiques de plusieurs variables,
m'amenaient encore a cette meme recherche, et je ne puis douter
qu'elles n'ouvrent un jour a l'analyse le plus vaste champ de decouvertes. Mais, arrete a plusieurs reprises par des difficultes qui me
semblent bien au-dessus de mes forces, je ne sais s'il me sera
jamais donne d'y faire quelque progres. Aussi est-ce a d'autres
principes que se rattachent les considerations developpees dans ce
Memoire. Je dois indiquer d'abord les belles expressions decouvertes par M. Sylvester pour les fonctions auxiliaires qui figurent
dans le theorieme de M. Sturm, et celles que M. Cayley en a deduites,
comme m'ayant ouvert une voie nouvelle. Ce sont, en effet, des
formules analogues a celles de ces deux savants geometres qui seront
posees a priori pour des equations simultanees, et dont on conclut
avec facilite des proprietes toutes semblables a celles des fonctions
de M. Sturm.
I. Nous considererons en premier lieu une equation a une inconnue F(x) = o, et nous designerons ses racines par x\, X2,..., Xm.
Soit encore Si la somme symetrique des puissances semblables
x\ + xa +... + x,,; avec les quantites S1, 2,... S- et une
indeterminee ), composons le systeme lineaire:
Si —X, S2, S3,... S,,
S2, S3 —, S4,.., S/,+,-i
(I) S34, S5 - ),.., S n-2,
S..,..S,...... S,.. —.
S mi, S,, m,. /n+2i.,.* 2, -2 - -