Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

'28 OEUVRES DE C(IAILES HERMIT.E
nion de 1'Association Britannique une demonstration nouvelle du
theoreme de Lambert, ou n'intervient plus le Calcul integral, et
qui, je l'espere, paraitra entierement elementairc. Je pars simplement de la serie
X X2,/n
Ce' =x - -- -- -.. — - t-.
I. I.22.....
et posant pour un instant
x,2 Xn
F(,x) = i- - --...- ----,
1 1. 2 I.2...f
cc qUi p:ermet d'ecrire
ex- F(x) _ x xt
= ------- -k- -q-... --,
X/+1 — I. '2...9. -- I I.1... I + 2 I 2.... -- / -4- I
i[ suffira, comnime on va voir, de prendre les derivees d'ordre n
des deux membres de celte relation. Effectivement, on obtient
d'abord
D e ex (tP (x)
X t '1-t X2.-t-1
ol q(x) est un polynome a coefficients enliers du degre n, dont il
n'est aucunement necessaire d'avoir l'expression (lu'il serait d'ailleurs aise de former. Nous remarquerons ensuite, a l'egard du
terme F (x) qcue la differentiation, effectuee n fois de suite, fait
disparaltre les denominateurs des coefficients, de sorte qu'il vient
D), F () DI (X)
X"/-I-l X2n+l()m(x) etant un polynopme dont tous les coefficients sont des
nombres entiers. De la relation proposee, nous tirons done la
suivante:
eXP(x) — P1(x) _^ (k -- i)(k q- 2)...(/c -H n)x/4
X2n+1;k I 2..../ -4- 2 -+- I
0
ou bien sous une autre forme
(J) -(x!) ~-'"1+~ (k 4-I)(k 2)..(k +- ) xlA
I.1....2.f./i +2l
_ (k4Z^ ( — -.. (i k- 7) kt
1. 2... /i t Z i I. n 4+-.. k +- 2 / i I