Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EQUATION DE LAMNI.

I:9

est un polynome entier en x. En posant z = )2, ou
- = C2 U2 + 2 CC' iV t- C'2 (,2
je vois qu'il sera demontr cque q tu est un polynome entier en x,
de degre n?, sije prouve que z est un polynome entier de degre n,
puisque u2 et,2 sont des valeurs particulieres de z; je pose done
S = y', et je cherche la transformee en z de l'equation de Lame,
ou, en me plaeant a un point de vue plus general, de l'equation
A y"+ 2 'yy' = By,
dans laquelle A et B sont deux polynomes entiers quelconques
en x. J'aurai
dz
cx= ~ YY"
C/2 -h
2. 2
dxq "-.(yy" -- y' 2 ).
En multipliant par 2 A,
2 z"= Ay" -- i Ay' = y(By- 2 A'y') 4- 4Ay',
oul.A)." Bz - 2A'yy' + ay'2,
et, colnme
2yy= z',
A. z" -- A'z'- Bz = 4 Ay'2.
En diff6rentiant de nouveau
[?Az"- A'z'- B z]'= 8 Ay'y' + 4 A'y'2
- 2y'(4Ay"+ 2 A'y),
et comme
iAy" 2A'y = By,
[ Az" + A'z'- Bz]' = 2B yy',
[.A -tz- AZ'-Bz ]'= Bz'.
Telle est la transformee en z. Si maintenant je developpe le
premier membre, il vient
2Az" 3 -A'z-/- (A" —2 Bz'- B'z o.
Je differentie In fois cette equation, et je pose
Zu =.
dx /1