Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L' EQUATION DE LAMEi ('.
Extrait des feuilles autographiies du Courls dl'Analyse de I'Ecole
Polytechnique, par 1A. IHermite, 1"c Division, i87'2-t873, 32a lecon.
Dans la tlheorie de la chaleur, Lamce a etc conduit t considerer
l'quation differentielle suivante
4iX cl, ( = (a x + b -)y,
dans laquelle X est un polynome cu troisieme degre de la forme
X = x(i - x) ( - K2x).
Dans le cas oi a= n(n -+ -i)KI, i edtant un nombre entier, il se
trouve qu'on peut satisfaire i l'dqcuation de Lamde en prenant pour y
un polynome entier de degre /, pourvu que b ait pour valeur un
certain polynome entier edgalement de degrde l. Nous ne traiterons
pas cette question etnous nous bornerons i supposer ct= (n — i )K",
b restant completement arbitraire.
En appelant u et v deux solutions particulieres de l'dquation de
Laame, la solution la plus genedrale de I'equation est
y' = Cl - C'',
c et ct etant deux constantes arbitraires.
Je dis que, si u et v sont convenablement choisies, le produit Itn
(1) Nous avons retrouve dans les feuilles lithograpliees cestin6es aux C6lves
de l'Ecole Polytechnique, une lecon faite par IHermile pendant l'hiver 1872-i873
sur 1'equation de Lamn. Nous reproduisons cetle lecon, qui, a notre connaissance,
fait connaitre les premi6res recherches de IHermite sur une question qu'il devait
approfondir queiques annees apres. E. P.