Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

I 112

La meme substitution permet semblablement de ramener les
integrales
+ Cos 1 xdx r0 sin mx dx
J_ - -c J_ ' x-a
o i m est non seulement un nombre entier, mais une quantite
reelle quelconque, au seal cas de m = i, car on en deduit
f4 00 cosmx dx = +00 cos dz
x- a J_ - ma
ct
+0 sinmx dx +00 sinz dz
x - a '_ - ma
Mais, en donnant, comme nous l'avons fait, a la transformee en
z les limites - oo et -+- 0, nous avons suppose implicitement m
positif, et dans l'hypothese contraire les limites doivent ctre intervetties, de sorte qu'on aura alors
f + si n m x dx _ + sinx dx
_-^ x ~ _-^ x
De la cc fait remarquable et important en Analyse, que l'integrale
'+ sin mxdxI
s mnxx, envisag~e comme fonction de m, est constante et
d_00 x
egale a +T- ou a - -T, suivant que la variable est positive ou negative. Mais voici d'autres exemples de fonctions discontinues obtenues sous forme d'integrales definies. Considerons les expressions
f sinax sinbx x f sinaxsin bx sincx
J -— x-3 x dx,
que je vais d'abord reduire par la methode generale a des quantites
explicites et transcendantes
cos mx dx f sin m xdx
x x
Faisant, a cet effet, pour un instant
U = sinax sinbx, V = sinaxsinbx sincx,