Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

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savoir:

VF(x) (x)dx et

di dn(x -x - 4,I,(x) dx,
SJ d dx"'

Ces deux termes se decomposeront eux-memes si l'on emp]oie
la formule
d cot - (x - a)
P (x)= = cot-(x a) -- a d
1 2 dx

dans les suivants
dci cot - (x - a)
F (x) - 2 dx,
dx1'

d2 cot -(x -a)
4- dT.2 -- t- ~ ~,
I
d" cot - (x- a)
d d"(x-)-l dd
t dx't dx,"

On tire enfin de l'integration par parties, c'est-a-dire de la relation
d dx"

une derniere resolution donnant, d'une part, des fonctions explicites de la variable, et de ]'autre les integrales

r, dl" F(x)
cot -(x-a) d F ( x,, 2-d~

r d"L-+l (x - x)-
_ cot - (x -) a) -dx.
J- 2 dxIt'-1

Les elements simples auxquels nous sommes amenes, si l'on
I, F (x)
observe que dx" ' est un polynome entier dont le degre peut
etre quelconque, sont done les divers termes de ces deux series
cot - (x- a)x dx, cot - (x-a)x2 dx, fcot - (x-a)3 dx,...,
S 2 2 9

I I
cot- (x - a) dx cot- ( x-a) dx
J x-. J ( x - a)'

cot- (x - a) dx
(x - )3

dont les uns rappellent la forme analytique des intLgrales elliptiques et abeliennes de premiere et de seconde espece, les autres
celle des fonctions de troisieme espice. Mais on ne connait entre
eux aucune relation qui permette de les ramener les uns aux
autres, et ils constituent sans doute des transcendantes distinctes.