Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

soit convergente, nous aurons
4(xt - 27T) = )_ (x).
Or, cette transformation donne la valeur de l'integrale definie
proposee; je dis, en effet, que )(x) s'exprime par une fonction
rationnelle de sinx et cosx, lorsqu'on suppose, comme nous
l'avons admis,
p(x) =f(sinx, cosx)fi(x).
II. Je me servirai pour le faire voir de la formule suivante, qui
sera demontree dans le Cours de seconde annee, savoir
kn = + n
I I I X I n x -- TC x -
x +-2k k 2 2 27C in 4m nm 4n n7
k — 7n
ou ]es termes non ecrits contiennent en denominateur le carre et
les puissances plus elevees de m et ni. Elle fait voir que la serie du
premier membre appartient t l'espece des suites semi-convergentes,
I x
de sorte qu'elle ne representera - cot - qu'en supposant le rapport
- egal a l'unite pour m et n infinis. Mais, en general, soit X la
limite de la constante 1 log -n lorsqu'on fait croitre indefiniment
m
m et n, ce qui donnera
k =n
1 I 1 X
---- -cot- -+A;
x 2- 2k: 2 2
nous remarquerons que cette quantite disparait dans l'expression
des derivees successives du premier membre, qui sont ainsi des
series absolument convergentes, dont la formule nous donne les
valeurs, a savoir:
k +n dcoty d (x+ -.k- k)- I 2
^j d dx ~ 2 dx
k=-d2 (mX~2 kn) d2 cotdx2 2 dx2
k= —m