Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

98 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
puis, abstraction faite des puissances positives,
d^l \di, h- I
d x ecot - (x -- a) e= e -
dx'^ L 2 j dhn
la derivee de h par rapport a x etant l'unite; nous en conclurons
que l'expression
d2h- d" h-'
e (2th-1-Hi -dh dh/lL
represente dans le d6veloppement du second membre tous les
termes contenant des puissances negatives de h, de sorte que l'on
aura
I II
A,= -A, 1- Al,.., i -A,.
2 2 2
Pour faire une application de ce resultat, nous considererons la
fonction
e(a+bx (a -- - cot b - - cot-,
2 2 / \2 2 /
qui devient infinie pour la seule valeur x - o, de sorte qu'il suffira de la developper suivant les puissances ascendantes de la
variable. Or, on a
/ I \ a22 \ / I \
eax a- - cot - I -t- ax --- -... - - -a - -...
2 2/ 2 2 12
I - 6 a2
= - + ----- x...,
x 12
et pareillement
I/ I x\ co t i6b2
ebx b- - - = ---— x -...;
2 2 X I' 12
d'ou, en multipliant membre a membre,
e(a+b)x (a - cot — (b - cot - -
\ 2 2) / 2 21 a2
Le terme en - manque, ainsi A o; mettant ensuite 2 sous la
x x
forme d(x-) on en conclut A - 1; par consequent
dx
= 0, 2i=.