Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

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l'integrale
j ewx f(sin x, cosx) dx
sera exprimee, d'une part, par la somme
eta x(yx- x) -+- jBeo (x- )-4-.... - feeA p (x - A),
et de l'autre, au moyen des fonctions explicites de la variable. Les
conditions - = o, J o,..., f = o sont donc suffisantes pour
que la partie non explicite disparaisse, et la valeur meme de l'integrale sera connue au moyen des divers coefficients 21, X2,..,
j, ]32,.... I1 importe donc d'en avoir une determination directe,
et on l'obtient comme il suit.
II. En ayant, en vue, pour fixer les idees, ie groupe des quantites A, 21,..., A,: nous ferons x - a + h dans la fonction
proposee, et developpant suivant les puissances ascendantes de h,
nous representerons les termes affectes des puissances negatives
de cette quantite sous cette forme
eo)(a+/) f[sin(a -- h), cos(a. + h)]
dh-I -I
= e'oa ( A l h -I + -' A,~ ddh, )-...
Or, la relation
ewx f(sinx, cosx)
=- eo)xH(x) -+-L ea)X cot-(x - x) ]+ A I+ eOx cot- (x ta) -+-...
L 2 J aly T 2
+4-B |excot- ) |+ ewx o cott - ( -- ) +...
L 2 J rI 2 i
montre que, pour = -t +A, la partie suivante du second
membre, savoir
A ewx cot- (X - ) - 1 Al- e0x cot- a) ( -.
sera seule a donner des puissances negatives de h. Maintenant on
trouve
ewx cot - (x -- a) = ea - -...)
II - 6

H. - II[.

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