Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

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rentre dans celles que nous venons de traiter, ce polynome pouvant etre transforme en une fonction lineaire des sinus et cosinus
des multiples de la variable. La quantite J dx, par exemple,
etant d'abord, abstraction faite d'un facteur constant, mise sous la
forme
/ d,,t(x-~) d,
fsin'~ x d xm
sera immediatement ramenee, au moyen de l'integration par parties, a celle-ci:
J 'n x d x
Or clm s ifnx -d'i x
d"Z sin x *
Or, dx,,- est une somme de cosinus ou une somme de sinus
de multiples de x, suivant que n -+- n est pair ou impair; dans le
premier cas, l'integrale se reduit done a c f c dz, et dans le, r sin z,
second a dz.
J z
De l'int6grale f eX f(sinx, cosx) dx.
I. La propriete caracteristique de la transcendante
ewxf( sinx, cosx),
ou f(sinx, cosx) designe une fonction rationnelle de sinx et cosx,
consiste en ce qu'elle se reproduit multipliee par un facteur constant e2w7, lorsqu'on y change x en x -- 2a. Elle se rapproche
ainsi des fonctions periodiques, et le procede d'integration resultera encore d'une decomposition en elements simples, qu'on
obtient comme il suit. Je pars, a cet effet, de la relation generale
etablie page 58, a savoir
f(sinx, cosx) = I() -+ (x);
elle nous donne dans la fonction proposee une premiere partie
ew'xI(x), qui en sera semblablement regardee comme la partie
entiere et dont l'integration est immediate. En effet, II(x) etant
composee lineairement des quantites coskx, sinkx, il suffit d'em