Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.

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et, par consequent,
Je x _d I e=oa [w (Z- a)].
La transcendante f ezdz, si l'on fait e= — x, prend la forme
Idx
dx et recoit la denomination de loga7ithme integgral. On a
logxa
demontre l'impossibilite de la representer par des combinaisons
en nombre fini de fonctions algebriques, logarithmiques et exponentielles, d'ou resulte qu'on doit l'envisager comme un element
analytique sui generis, dont la notion premiere s'est offerte, ainsi
que celle des transcendantes elliptiques et abeliennes, par la voie
du Calcul integral. Elle a ete l'objet de nombreux travaux, mais
nous nous bornerons a mentionner a son egard une propriete singuliere qui en montrera le role dans l'Arithmetique superieure.
b cix
Elle consiste en ce que l'integrale definie ogx donne approximativement la valeur N du nombre des nombres premiers compris
entre a et b, l'approximation etant d'autant plus grande que b est
plus grand par rapport a a, et etant ainsi caracterisee que la limite
du rapport de l'integrale au nombre N est l'unite pour b infini.
II. 11 existe une infinite de cas dans lesquels l'integrale
J eWf(x) clx
s'obtient sous forme finie explicite; il suffit pour cela que les
diverses constantes t) s'evanouissent. J'ajoute que ces conditions
sont necessaires si l'on veut que fewxf (x) dx s'exprime an
moyen d'une fonction rationnelle multipliee par eWx. I1 est aise, en
effet, de reconnaitre l'impossibilite d'une relation de la forme suivante:
ff: dxant e w dx e),
S(x) etant en general une fonction algebrique, car en faisant
x -a c - h, et developpant suivant les puissances croissantes de h,
le premier membre contiendra la quantite &Lewalogh, et aucun