Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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on pourra operer do mtine dlans tonties les questions oct les fonctions, elliptiquoes no
sont utilise'es que coinme interme'diaires ontre relations alge'briques; car la the'orie
do LA re'siduation pernet 1'Ltude des systermes comuplets do points sur une cubique,
done L'6tude des systernes Wloqiiationis alge'briques dont los solutions peuvent e~tre
individlualise'es par' I'emploi des fonctions ellIptiques.
On saiL que la question des -potygones de Poncelet a conserve' quetque chose de
myste'rieux. tant qu'on n'a pas mis en evidence le ro'le des potygones repliets. La
consideration de ces polygonies ne suffit pourtant pas pour to cas our l'on coulside're
plus do deux coniques. Supposons quo t'on ait un potygone A, A,..... AP inscrit
dlans C et dont los p co~tes sont tangents 'a C., C,....appartonant avec C 'a un
nmeme faisceau F, en des points 1Mll4 M~...on a
A M AIA M
X X..... X
AI A,, M4d A: M~ A4
Jo dis quo le polygone est ci rconscri t 'a C4,I C.... on leur est tangent snivant
quo, dlans to second membre, on a + ion - i.Le the'oretme do Poncelet est alors to
suivant:s'it existo un polygone circonscrit, repie' on -non, it en existo fine infinite'.
D'autre part, quelles quo soient C, C.... it existe toujours un nombre fini do
polygonos tangents; dans lo cas oui C4,Y C ~,..... sont identiques, ces polygones
sont tons replies.
Chasles a niontre' quo si t'on conside're los potygones do Poncetet 'a p co'tes, CHIconscrits 'a nue ellipse et inscrits dlans des ellipses homnofocates, itS out tons M eme
tongueur. Cot e'nonce' nest pas projectif; on to rend projectif en le ge'ne'ralisant
S'agit-it do polygones circonscrits 'a une conique C et inscrits dlans des coniquies
appa~rtenant 'a un faisceau tangentiet contenant C P II suffira do prendro pour absolue
une conique do ce faiscoau pour retrouver t'6nonce' do Chasles. S'agit-il1 do polygonos
inscrits dlans C et circonscrits 'a des coniques d'vin faisceau ponctuel contenant C?
It suffira do p —rendre pour absotue uno conique du faiscoau pour quo tons Los poiygones aient me'mo aire. Los deux C'nonce's peuvent e~tre employe's simultauc'ment
lorsqn'il n'y a quo deux coniques; Si, do plus, ta longuenr (on tFaire) est re'elle, on
pourra la conside'rer cormme solution d'un probiceme do maximnmn on dol minimum
ainsi (tue Favait fait Chastes.
M. Moutld m-avait pose' la question suivante:Quot ost le noinbre maximum do.
diamct'tres rectitignos quo pout posse'der une courbe inde'composable do degre' in P
Yai MonTtre' [181 quo ce nombre est in, si in ost impair, et /In + 2, Si mn est pair;
sanf qnelques exceptions pour Los petites valenrs do in. Pour obtenir co re'sultat,