Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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construire les div ers polye'dres ro'guliers. C est 'a ces Lix res cjue j'ai imme'diatement
pens6.orsqu'u rn' d eonr, pour la premi iire fois, que les surfaces appicbe
sur le plan sont toutes des surfaces de'veloppables. be de'saccord apparent entre cet
enonce' et L'existence meme de l'art du cartonnier s explique de suite:un polye'dre
es[ nue surface noni anialytique et posse'dant des lignes singulie'res; dans la recherche des surfaces applicables suir le plan on ne s'occupe que des surfaces re'guli eres,
on em~re analytiques. Cette remarque faite, je n'ai plus pens' 'a la question; mais
elle m.'est revenue 'a la meruoire quand j'ai Lu. le Chapitre de la Tbe'se de M. Baire
cosar ' la recherchie de toutes les solutions de l>S'quationpq.Jmesims
alors 'a rechercher tonutes les surfaces correspondant point par point 'a une portion
de plan, la correspondance coniservant les longueurs pour tonics les courbes,
qu'elles soient ou noit des surfaces de'veloppables. J'ai It-oave des sai-faces applicables stur le plan, att'sens que je viens dle dir-e, et qui iie sont pas des dMveloppables;
certaiines soiit r-eglees, d'aatrles ne le sont pas et 1), ene ne contiennent aucarn segment
de dr-oite [42, 81. L'application conserve aussi les aires.
Soient f(t), y(t), h~l) trois fonctions 'a variation borne'e dont la -variation totale
dans (li,,&) est b'gale hIt 1,, - t1 1, quels ciue soient, t, et t2 1la transformation
-feai correspondre 'a toute surface, lieu d'un point x, y, z, tine surface S, lien
de X, Y, Z. Ces deux surfaces sout applicablies, au sens indique' plus haut de la conservation des lonugeurs. En prenant pour s un plan ou une de'veloppable, on a done
des surfaces appLicabLes sur le plan. En particulier, en prenant f(x) x, g(y) -y
et pour h (z) toutes les fonctions possibles, on trausforme tons les co'nes de re'voll.tion autour de OZ en toutes les surfaces de revolution qui sont applicables sur le
plan.
Si l'on imagine que les go'neratrices d'nn tel co'ne s se rebflechissent sur un
plan z -,an lien de le traverser, on aura une prerniebre transforme'e s, de s. Si, de
meme, on- fait rebflechir certains segments des generatisdessrunpaz
on a tine auitre tranisformehe s,., La repetition inde'finie de ces re'flexions, suivie d'un
passage iLa lintettnatrLrcdtpu rouver tontes celles des surfaces
solutions qui sont de ritvolution. Ce procb'de montre qn'on pourrait, de fa~,on approche'e, re'aliser mate'rieltenment, ces surfaces tout anssi bien que s'iL s'agissait d'une
surface, couiqtie o rdi nairte.
Toute de'veloppable analytique esi une solution de notre probletme; mais il est
bien remarquable quun cyltiidre7 un cotne, la surface fornicee par, les tangentes 'a
tine courbe g-auche tie sonL pas ne'cessairemyent applicables suir le plan. J'ai dittermine' Les conditions que doivent remplir ces surfaces pour etre applicables sur le
plan. J'ai do-tnne' des exeruples de surfaces re'gle'es, dont les go'ne'ratrices enveloppent