Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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de'finir tie telles courbes; j'ai. employe' une dWFinition. arithmitique tr's simple qui
reussit lorsqu'ii s'agit d'un espace -h un nombre quelconqlue tie dimensions [871 ou
meme d'un espace 'a une infinite' d'nornbrable de dimensions [61]. C'est en -vue
d'applications que j',ai donne' ces exempics; car si, avant moi, ii semble qn'ou ait
regardt' ies conurbes de PeanIo seulement comrn e uite n-onstruosi tt' rnatbiematique,
j'en ai fail un instrumient ne demonstration. Elles m'ont servi, par exemiple, 'a
passer dui theore'me tie b1orel sur les intervalles an the'ore'me analogue pour les divers
espaces, a passer du thi'or'nie de lBaire pour les fonclions (le classe n 'a une
variable, an mehme the'ore'me pour les fonctions tie pliuSjeiiirs vNariables, 'a donner des
exemiples de fonctions ties diverses classes de Baire et de fonctions 6chappant Ch la
classification cie Baire, a passer tie la de'riyation des int~egrales do'fi Ties des fonctions.
d'une seule variable 'a la derivation des integrales miultiples. NMaintenant, grace ~it la
notion d'in tegrale de Stieltes, ces passages de l'inte'gration sim-ple aux inte'grations
multiples seraient beaucoup pldus faciles encore.
On s'expliqlue aisenimenit que la con-side'rationtide ces courbes puisse ktre utile,
car Mi. Peano a e'e conduit 'a de'finir uine courbe remiplissant un domaine par ies
'~flexions snivantes:d'apr's le th'or'me d'invariance, on ne peutiet ablir urne correspondance ponctiieile entre une droite et un espace qui soit 'a la fois continue et
umivoque dans les deux sens; mais cela est-il possible lorsque i'on wexige la continuite' et l'nuivocite' qiie dans un sens P Les conurbes de Peano donnent cue re'ponse
affirmative 'a cette question; elles ktablissent ainsi, entre nue droite et uin espace,
une correspondance aussi parfaite, au point de viie de 1'_ \ualysis Situs, quil est possible; et c'est pourquoi elles m'ont, dans bien des q uestions, permis d'a~tt'nuer les
dilYfrences entre les espaces ayant des norubres ditrhrents de dimensions.
La correspondance entre une droite et un espace est imiparfaite parce tine les.
courbes de Peano ont n~e'ssairement des points multiples; j'ai recherche 'a quel
ordre de multiplicite' minimum on pouvait rf(Iduire ces points. J'ai mon reS [60] tjne,
s'il s'agit dun espace h ii dimensions, nne courbe remplissant nn dornaine a ne'cessairement des points muitiples d'ordre it + iet pent e~tre choisie de manie're 'a n
pas avoir de points d'ordre supenirieur 'a it + in. Ainsi, unie courbe remplissant un.
domaine D de lespace ordinaire a no'cessairement des points an momns quadruples
dans tonte partie de D; daus Lin. domaine plan inte'rieur 'a D, ii n'y a penut-8tre pas
de points quadruples de la courbe, mais ii y a ne'cessairemnent des points an momns
triples; stir tout segment hite'rieur (h D, it y a des points an moins doubles tie la
courbe.
Surfaces applicables.
Les Surfaces applicables suir le plan. - Dans certainis iivres de geiomni'trie e'lenientaire on apprend anx enfiants comment it fant plier une feuille de carton. pour

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