Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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dent entre eux, ainsi que les points frontie'res. Cette proprie'te est capitale pour lathe'orie des fonctions irnplicites, commne 1'a tre's justement montre' M. Hadamard.
Dans uine Note des Comptes rendas [57] non encore de'veloppe'e, j'ai indiqun6
d'autres demonstrations dii th'orernie d'invariance en rapport avec la proposition
connue souns le nom de the'ore'me de Jordan.
Le th~or~me de Jordan. - Jordan a de'nontre' quunne courbe ferrnlee partage le'
plan en re'-ions; la proposition generale est que toute varie'tN ferme'e 'a n - idimensions, situe'e dans -un espace a n dimensions, partage cet espace en regions.
On savait bien que cette proposition, le the'ore'me d'invariance et le theoreme, de,
Schoenfliess ktaieiit intimement lie's; MX. Baire avait me'me publi' 'a ce sujet tin
article tre's suggestif. Mais le the'orenme de Jordan paraissait aussi difficile 'a prouver
que les autres,; on ne voyait pas, en particnlier, comment on ponurrait raisonner parrecurrence. C'est pourtant par re'currence que j'ai pronv4" le the'ore'me, mais grace aN
tine recurrence diff~rente de celle que l'on cherchait et qui n'a N'te possible pour
mnoi que parce qne j'ai conside'rablement e'iargi la proposition 'a dernontrer.
Conside'rons dans l'espace E 'a n dimensions, deux varie'tes ferme'es V~ et
a p et q dimensions, p <n, p + q -n - i. Soient VP~' V' deux varie'tes voi —
sines de 'VP, Vq et polye'drales; it pourra arriver que ion puisse, par deformation
continue, re'duire VP' a un point sans. traverser V.'; il se pourra, an contraire, qn'iL
faille traverser V,' cx fois. Si cx est impair, nons dirons que VP et Vq sont enlace'es.
Voici main ten-ant 1'N'nonce' que je snb stitue 'a celui du the'ore'me de Jordan:Si, dansl'espace E,~ on a la varietW V ~ p,on peait toujours lrouver ane variete1V
enlacee avec elle.
Ponr donner 'a cet N'nonc6 toute sa porte'e, il fant convenir qu.nne varieteN VO est
con stitne'e par detix points. Alors -le the'ore'me est Nvident pour p 0 o; par re'currence, on sieed oNp a- le th'or'me de Jordanetpcimnt
equivalent N.l'nonce' precedent dans lequel on a fait p a -i
Cet C'nonce' est d'ailleurs inte'ressant an me'me titre que son cas particulier: l
the'ore'me de Jordan. Tandis que celni-ci est le' 'a la notion de pe'riode polaire des
integrates Ntendues 'a des varie'tes 'a n - i dimensions de L'espace 'a n dimensions,
le'noncN" general est lie' de la me'me fa~on 'a la notion de pe'riode polaire des inte' —
grales multiples d'ordre n - iLes plns generales.
Depnis ma Note, le the'ore'me de Jordan a NLN de~montre' aussi par M. lBrouwer,
avec ce complement important: il ny a que deux regions. M. Bronwer a N'tudi' lanotion de varie'tes enlace'es que j'ai introdnite; M. Antoine a utilise' cette notion.
dans sa si remarquable The'se.
Les courbes de Peano. - On appelle ainsi les conurbes qui remplissent tin domaineet dont le premier e-xemple est du Na M. Peano. J'ai eu plusieurs fois L'occasion de,