Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

CIIAPITRE IV

ANALYSIS SITUS - GEOMETRIE - TRAVATIX ]DIVERS"
Analysis Situs.
Ilien que je n'aie ptiblie' quie tout re'cemment, uri travail de quelque e'tendue sur'
cette partie si importante et si pen kudie'e des matLh'niatiques, je m'y suis toujours.
inte'resse' depuis que la preparation d'une leqon (lagre'gation snr le the'ore'me d'Euler
relatif aux. polye'dres me I'a en quelque sorte re've'lee. Nu moment ofi je sortais de
l'lkole Normale, l'attentiou des jeunes gens e'tait d'ailleurs attire'e sur cet important
sujet par le cours d'analyse de Jordan, par les lecons de M. Picard sur les fonctions
alge'briques et par le premier mehmoire de Poincare qui venait de parailtre. Je me
permets d'indiquer deux remarques qii m'ont ke suggerees par la lecture de cemmoire.
Si l'on considere une varikt' polye'drique 'a p dimensions, et si a, I 1.sontL les nombres des elements 'a p, p -i....dimensions dle cette varie'te, on a,
Si p est impair
N l-44 i -.....p- PP- + -P;
tes P~ i tant les, nombres de Betti de la varikt'. C'est le the'ore'me d'Euler,,generalise'
par Poincar&' Si L'on s'appuie suir 1'e4galite des nombres de Betti e'quidistants des
extremes, on en conclut N o. La seconde demonstration, donne'e par Poincare',
du theorenme d'Euler est inattaquable; mais, 'a cause des objections faites parM. Heegaard 'a la denmonstration de le'galite' des nombres de Betti e4quidistants des
extremes, on ne pent pas conclure N o. Or, j'ai remnarqu' que Von pouvatt.
simplement prouver que N — o et, par suite, avoir une premiere relation entre les
nombres de Betti; pour p-3, cette relation P - P,-o prouve 1'eigalite' des.
nombres de Betti.
En effet, par une transformation par polaires re'ciproques convenable, transformons notre varie'te V en une varie'te V'; entre les o. et 1Les <z relatifs 'a ces deux
varie'tes, on aura a, - ( - I<... car la transformation est tangentielle.
Mais modifions tre's pen V de facon ai avoir une varie7tle non, poly~drique, la trans~formation devient ponctuLelle et P1~ P,1, P~ P 'La proprie'tS est de'montre'e.