Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

Pans 1'une des seances d'analyses de me'moires que M. Hadamard a organise'es
au Colle"ge de 1France, 'a l'occasion d'un interessant travail. danis tequel M. Tonelli
A'tend la d~monostration, donne'e auntrefois par Schwarz, de la proprimkt6 de minimum
de la sphe're, autant que le perinet, la de'finition generale de, laire quo j'ai form-ule'e,
j'ai itidiquA' la me'lthode par laquelle j~etais arriv(' an me'ine re'stittat. Je u'ai pas
encor-e publie' cotte me'tbode.
11 s'agi t de trouver, parmni tons Los corps ayant le meine volume, quel est celui
dont, la surface a la plus. petite aire. Soient S,. S.... une suite de surfaces
minimisantes; il faut transformer cette suite en une autre qui soit minimisante et
convergente. Pour cela, si, sur une parallele X 'a ox, Si deAcoupe des segments de
longueur totale 21, je prends sur X les deux points situe's 'a la distance l de ox;
ces points de'crivent, Ti. De Ti, je passe 'a Ui, oy remplacant, ox; puis de Ui ' Ali~,,oz remplaQant ox. La suite des Vi est miuimisante et convergente; elle tend vers
line spli're.
J'ai AtudiA' d'autros ge'ne'ralisations du the'ore'me des isoperime'tres. Si, Sur une
surface ferme'e S d'aire A, on. recherche la courbe de plus petite lonugeur enfermant une aire a, on trouve en meine temps celle de plus petite longuenr 'qni
enferme A — a. Ceci m'a conduit [361 'a me demander comment it faut choisir.des courbes, pour qu'elles soient, de lonugeuir totale aussi petite que possible,.
et quelles de'limitent sur le plan, oni sur une surface donne'e, p domaines, dont, les
aires a2, a2.... ap sont donne'es. Supposons la surface analytique; on sait alors
'A lavance que les courbes sont des cercles ge'ode'siques, et l'on na'a Are'soudre qu'un
proble'me d'alge'bre. On arrive aux. propositions suivantes:En aucun point il tie
passe plus de trois cercles ge'ode'siques frontie'res; en un point ou'i passent trois frontheres, elles se coupent, sons t 200, et leurs trois, cercles de courbure ge'ode'sique en
ce point ont, deux points communs.
Au lieu de traiter le cas de conurbes sur une surface analytique, on pent, etudier
Le cas de courbes trace'es stir uin polye'dro. En de'veloppant le polye'dre sur le plan,
on voit que l'on a alors allaire 'a un proble'me plan. Le cas du te'trae'dre ro'gulier
(comme celui des tktrae'dr.es dont, les are'tes oppose'es sont Agales) est particulie'rement simple et donne des re'sultats eAlegants parce que le de'veloppement du te'trae'dro,
pen.t se poursuivro inde'finiment sur le plan de manie're qu'a' tout point du plan corresponde un point et, un seul du te'trae'dre.
Le fait que les courbes frontie'res.se coupent sons t 2o2 ne provient pas do ce que
les aires sont donne'es; an lieu des aires, on se serait, donnA' les valeurs de n'importe
quelles integrales A'tendues aux domaines conside'res que la meime propuiktA anurait
subsistA'. Elle pr~ovient tout simplement de ce que le point 0, pour 1equel la Sotnme
des distances aux trois sommets d'nn triangl~e ABC est minimum, est tel que OA,
OB, OC font entre eltes 12,00, Si 0 n'est ni en A, ni en B., ni en C. J'ai en ainsi
loccasion d'A'crire, Sur ce Vieux proble'me A'lementaire, un article [83] qui contient,