Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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dans, uine correspondance par tangentes paralle'les avec F, donne la plus petite valeur
possible pour le maximum de e'6cart enrrte les tarigentes correspondantes. Cette plus
petite valeuir est p -D; pour avoir le maximum de 2' ii fant done ch-ercher le
maximumi de cette plis pet ite v\aleur. Or, it suffit de prendrme, pour repre'senter F,
les coordontio'es polaires tangentielles avec lesquelles on e'tudie toujouLrs les courbes
convexes, pour que le problbrne se formule ainsi:f(?i) 'cintq lafonction qui dWfinit F,
quelle doit eltre fQ(?) pour que sa ineilleurie appr-oximation possible, auu selis de Tchebyche/f par- uie suite de Pourier- d'or-dre un, soil aassi griande qute possible? Cette question est du type de celles qu'il faudrait re'soudre si Ion voulait, dans les questions
d'approxirnation dont ii a b'te cluestion an Ch-apitre II, ne pas se borner 'a des calculs
d'orde, die grandeur, niais si i'on exigeait des limnites exactes. II est d'ailteurs etfectivement possible dec calcuiler ces lim-ites, au moins taut qu'il s'agit de l'approximalion par des polyno'mes de degre's trebs petits ou par des suites de Fourier d'ordre,
trb's petits.
J'ai re'solu la question precbdente, oiY la fonctiontielle 'a etudier est du-Ln type
tout nouveau, cur elie West pus expritmunble par~ une integrale; l'orbiforme minimi.sante est formehe de trois arcs Cbgaux de rayon D formant un triangle e4quilatral
en rviligne.
Probl~me des isop~rim~tres. - J'ai en l'occasion [87] d'exposer, en. la simpli-,
fiant q-telque peu., et en. Iti donnant une portb'e plus gbnbrale, l'originale mbthode
par laquelle M. Hurwitz dc'montre le tlheorb'me des isopb'rimebtres gralce 'a l'emploi
des sbries de Fourier. Le'tude des, orbiformes m'a conduit de nouveau 'a ce theborem e.
Les orbiformes de largeur D out ton es pour louigueuir 7,D; cc re'sultat est dui
a Euler; ii est alors naturel. de se demander quelle est celle de ces orbiformes cjui
a la plus petite aire et quelle est celle (Jui a la pius grande aire. Par un me're raisonnement 61i-meutaire [35, 62], j'ai dc'montre' que le maximum de L'aire est obtenn
pour l'orbiforme ebquilate'rale et le minimum pour l'orbiforme circulaire. Ce dernlier
fail re'sulterait du theborb'me des isope'rime'tres, mais mon raisonueinent debmontre
en meme temps ce theborebme. Je construis la courbe cherchee,dasLnelaur
cas, en determinant successivement ses tangenles parallibles 'a certaines directions,
par exemple, para~lleles 'a toultes les directions - 7, les nombres E-L Ctaut ranges
q q
dans un ordre determine'. Je moutre qu'il faut, chaque fois quont en est arrive' 'a la
determination d'une tangente, ch-oisir celle tangente comme s il s'agissait de rendre
maximum on minimum l'aire dn polygone que l'on va ainsi former; faule de faire
cela, le e( manque N gagner )) vers le maximum ou le minimum ne se rattraperait
jamais. L'bude des orbifornmes m'a conduit 'a re'soudre on 'a poser d'autres problebmes de minimum ou de maximum pour des fonctionnelles qni ne rentrent pas dans
les types classiques. M. J. Phl a S'tudie' l'un d'eux.