Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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fonictionnol envisage'. Mais ces fonctions frontie'res forment encore une famille tre's
vaste; elles dependent elles-me'mes de fonctions arbitraires et, par suite, la remarque
prec dnen~~ot pas la question. Pourtant, dans les quelques cas que l'on traite,ordinairement, le proble'me se ramene facilement 'a une question d'alg-ebre; car l'on
pent alors de'montrer que la fonction solution dolt verifier, pour toutes los valeutrs
des -variables, 1'e'galite' qui montre que cette fonction est une fonction frontiere du
chamnp; en d'autres termes~, it suflit d'AtLudier la fonction anL voisinage d'un quelconque de ses points pour pouvoir reconnaitre qu.'elle est une fonction frontie're.
Mais los champs que j'ai e'te conduit 'a examiner no sont pas de'finis 'a la facon
habituello, et, pour cette raison, je n'ai pu. m'appuyer sur la conclusion precedente
encore que, de la solution me'tne des proble'mes, il est apparti, apre's coup, que cette
conclusion A'tait encore exNacte.J'ai dit, au Chapitre II, que j'a-vais cherch' quel. est le maximu eLavlu
-absolute de la somme des mn prem-iers termes de la se're de Fourier d'une fouclion f'(x) de module infe'rieur 'a i. La recherche do ce maximum p (in) est uii proble'me non1 ragulier; le maximum est atteint pour une fonction discontinue eAgale en
tout point (ou anL voisinage do tout point, car la fonction extre'male n'est de'finie
qu aux points d'un ensemble do mesuro unite pr's) soilA, soit 'a -i. J'ai recherch'
aussi le maximum du coefficient do Fourier an,, par exemple, pour loutes Los fonctions satisfaisant 'a la condition do Lipschitz (io); il est atteint pour une fonction
represente'e par une ligno brise'e dont tous los co'tes font avec ox l'anglo maximum
compatible avec la condition do Lipschitz. be maximum do a,, est i- Jai traitA'
momns comple'tement les proble'mes analogues relatifs aux diverses classes C, C', C",
CII', CIV; jo me suis contenite do trouvor l'ordre do grandeur du maximumn [151.
Une question e'tudie'c par M. Bricard, et ante'rieurement par M. Jung, m'a conduit 'a nouveau a ce genre do recherches. M. Bricard, conside'rant toutes los figures
planes, par exemple, dont to plus grand diame'tre no surpasse pas une longueur
donne'e D, de'terminait quol est le rayon du plus petit couvercle circalaire capable
do recouvrir chacu~ne do ces figures. J'ai d'abord [34, 62] ropris la de~m-onstration
do M. Bricard do fa~on 'a 1letendre an cas d'uu espace 'a un nombre quolconque do
dimensions; mxe bornant ensuito au cas du plan, j'ai traitA' la question comime il
suit:soil F uno des figures planes conside're's; jo miontre qu'on pouit conside'rer F
conmoe tout ou partie d'uno figure (J) 'a laquelle on no pout ajouter do points Sans
quo son dianethre surpasse D. IUne tello figu~re (D) esi limite'e par une courbe convoxo F 'a laquelle, paralle'lement 'a touto direction, on po-ut mener deux. tanigontos
dont la. distance est D; ce soutleLs orbiformes do largeur D, dej'a conside'rees par
Euler. Or, si C est le plus petit cercle contonant -tne orbiforme F et si son rayon
ost?) le cercle concentrique et do rayon 2 D - p est le plus grand condoe inite'ieuir
a F1, el, enifinl, le condoe cotuceutrique do rayon Di est celui do tons los condoes qui,