Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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tinue fquelconque, si l'on sait trouver une fonction harmonigue dans D qui atteigne
sa borne infelieure en A, et en A setlement.
Cetle remarque permet de trouver tres rapidement des conditions fort larges
pour l'existence de la solution du probleme de Dirichlet; cela n'est guere interessant
dans le cas du plan, car la premiere menthode indiquee va aussi loin que possible,
mais cela est utile an contraire dans le cas de l'espace.
M. Zaremba a appele mon attention sur les difticultes qu'on rencontrait si l'on
essayait d'appliquer ma premiere nmethode au cas de l'espace. Apres avoir tente en
vain de vaincre ces difficultes, apres avoir oblenu, par la methode des fonctions
barrieres, des conditions pour l'existence de la solution, non encore publiees, qui,.bien qu'extremement larges, ne sauraient etre comparees a celles donnees par la
premiere methocle dans le cas du plan, je me suis demande s'il n'existait pas a cet
egard une difference essentielle entre le cas du plan et celui de l'espace. C'est ce qui
a lieu en efet: tandis que l'on peat dire que le probleine plan est toujours possible, il
y a, dans le cas de I'espace, des donnees trIes simples poulr lesquelles les probletmes de.Dirichlet et de Riemann sont impossibles.
Je n'ai pas encore developpe rnes conclusions, que je n'ai donnees que dans une
Note tres succincte [31]. Soit OA, un segment de longueur unite dont la substance
attirante a, en chaque point P, une densite egale a OP. Les surfaces 6quipolentielles, qui entourent OA, passent par O pour V> I.
Considerons le domaine forme par les points M pour lesquels on a OGMI i
et V 2. La frontiere de ce domaine ne contient qu'un vrai point singulier, l'origine;
elle contient bien la ligne singuliere O M = i, V = a, mais une petite modification
du domaine la ferait disparaitre. De sorte que notre domaine D est tout a fait comparable au domaine qui serait engendre par la revolution d'une cardioide autour de
son axe; eh bien, pour ce dornaine, les problemes consideres sont impossibles pour
des valeurs f(P), donnees aux frontieres, aussi simples que f(P) O P! Cela, d'apres
le theoremre sur les fonctions bairiifres.
Il existe alors bien une fonction F(M) bornee dans D, continue saiu en 0,
harmonique a l'interieur de D, egale a f(P) en tout point de la frontiere sauf en O;
mais cette fonction est discontinue en O. Si l'on prend une suite F1, F,.......
minimisante pour l'integrale de Riemann, et si cette suite est convenablement
choisie, elle tendra bien vers une limite i l'interieur de D, mais cette limite sera la
fonction F(M), discontinue en O.
Calcul de la solution du probleme de Dirichlet. - Toute lemonstration d'existence fournit, theoriqueoment, un procelde de calcul; d'autre part, tout procede de
calcul devient, pratiquement, illusoire des que les donnees ne sont plus tres particulieircs; pourtant il y a lieu de mettre a part les procedes qui donnent des develop-.pements en serie de la solution.